python x シミュレーション | モンテカルロシミュレーションを用いて円周率「π」を求めよう！

2023.04.15
Python

今回はアルゴリズムの一つ「モンテカルロ法」について取り上げます。

1. モンテカルロ法とは？
2. よくある事例：円周率（π）を求めてみよう
- 2.1. πを求める過程
- 2.2. pythonを用いたシミュレーション
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モンテカルロ法とは？

モンテカルロ法とは、ランダムな数値を用いて、数値計算を行う手法のことです。

モンテカルロ法は、確率的に求めることが困難な問題や、数式的に解くことが困難な複雑な問題に対して、数値的な解法を提供することができます。

よくある事例：円周率（π）を求めてみよう

例えば、円周率（π）を求める問題を考えてみましょう。

πを求める過程

以下のような図形を用意します。

・1辺が「2r」の正方形

・半径が「r」の円

それぞれの面積は以下のようにあらわすことができます。

※円の面積は便宜上「π」を使っていますが、この時点では値が分かっていないものとしています。

上記の面積より、πは以下のようにあらわすことができます。

πは円の面積と正方形の面積が分かれば求めることが出来そうです。

しかし、今の時点では「円の面積はπを用いない」と求めることができません。

そこで「モンテカルロ法」を用いることとします。

１）正方形の中にランダムに大量の点を落とします。

２）正方形を埋め尽くすほどの点を落としたとき、

　【円内に落ちた点の数≒円の面積】

　とみなすことができます。

３）つまり、以下のような式が成り立ちます。

４）点の数が多いほど、πの値の精度が高まります。

以上がモンテカルロ法を用いた、πの推定方法となります。

pythonを用いたシミュレーション

では、実際にPythonでシミュレーションしてみましょう！

以下がコードです。

import random
import matplotlib.pyplot as plt

# シミュレーション回数
num_simulations = 1000000

# 円内に入った点の数をカウントする変数
num_points_inside_circle = 0

# シミュレーション結果を保存するリスト
x_inside_circle = []
y_inside_circle = []
x_outside_circle = []
y_outside_circle = []

# num_simulations回シミュレーションを実行する
for i in range(num_simulations):
    # 正方形内のランダムな座標を生成
    x = random.uniform(-1, 1)
    y = random.uniform(-1, 1)

    # 原点からの距離を計算
    distance = x ** 2 + y ** 2

    # 距離が1以下の場合、円内にあるとみなしてカウントする
    if distance <= 1:
        num_points_inside_circle += 1
        x_inside_circle.append(x)
        y_inside_circle.append(y)
    else:
        x_outside_circle.append(x)
        y_outside_circle.append(y)

# 円周率を計算
pi = 4 * num_points_inside_circle / num_simulations

# 結果を出力
print("円周率の近似値: ", pi)

# 円周率のシミュレーション結果を描画
fig, ax = plt.subplots()
ax.set_aspect('equal', adjustable='box')
circle = plt.Circle((0,0), 1, fill=False)
ax.add_artist(circle)
ax.scatter(x_inside_circle, y_inside_circle, s=1, color='blue')
ax.scatter(x_outside_circle, y_outside_circle, s=1, color='red')
plt.show()

以下が結果です。

点の数を100~100,000まで増やしてシミュレーションしています。